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Change of Variables
확률변수 \( X \)가 PDF \( f_X \)를 따르고, \( Y = g(X) \)일 때, (g는 미분 가능하고 strictly increasing 함수)
\[ f_Y(y) = f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \quad (y = g(x) \Leftrightarrow x = g^{-1}(y)) \]
증명은 다음과 같다.
Ex ) Lognormal Distribution
\( Y = e^Z \) 이고 \( Z \sim N(0, 1) \)
즉 log를 취하면 normal distribution을 따르는 분포이다. 이거의 PDF를 구해보자.
위에서 볼 수 있듯이 \( Y \)가 log normal 분포를 따르는 경우, 그 PDF를 \( f_Y(y) \) 구해보면
\[ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\ln y)^2 / 2} \cdot \frac{1}{y} \quad (y > 0) \]
Multidimension인 경우 transformation
Convolution - 확률변수 합의 분포
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