Gamma Distribution

 

 

 

Gamma Function

\[ \Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} \, dx, \quad (a > 0) \]

• \(\Gamma(n) = (n-1)!\)
• \(\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\)
• \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)

Recursive한 식의 특성상 1/2 인 경우를 통해 다른 감마(분수)꼴의 값도 쭉쭉 구할수 있음. 예를 들면:)

\[ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

Gamma Distribution

감마 분포의 PDF는 다음과 같다. 

\[ f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-x}, \quad x > 0 \]

(이 식이 어디서 나왔냐면, 확률 분포의 특성상 적분의 합이 1이되어야하는데, Gamma Function \( \Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} \, dx, \quad (a > 0) \)  -> 이 식 잘 살펴보면, 식을 \( \Gamma(a) \) 로 통쨰로 나눠버리면 좌변이 1이 되는걸 확인할수 있다. 즉 우변의 확률분포 적분의 합이 1이되니까 확률분포의 특성 만족.)

 

*\(a = 1\)일 경우, 이는 지수 분포(Exponential Distribution)와 동일하다

(\(Gamma(a, \lambda)\))

다음과 같이 일반화할 수도 있다. 

\[ f_Y(y) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} y^{a-1} e^{-\lambda y}, \quad y > 0 \]

유도과정:)

 

 

Gamma & Expo?

 

 

Poisson Process

Poisson Process부터 다시 한번 보자.  Poisson Process란 시간당 평균 도착 횟수가 \(\lambda\)인 사건이 시간에 따라 독립적으로 발생하는 process이다.

\(N_t\): \(t\) 시점까지 도착한 이메일의 수

\[ N_t \sim Pois(\lambda t) \]

이때, 포아송 분포의 PMF는 다음과 같다

\[ P(N_t = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]

첫 번째 이메일 도착 시간 (\(T_1\))

첫 번째 이메일 도착 시간 \(T_1\)가 \(t\)를 초과할 확률은 T시점전까지 이메일을안받았을 확률이니까 다음과 같이써줄 수 있다.  

\[ P(T_1 > t) = P(N_t = 0) = e^{-\lambda t} \]

따라서, \(T_1\)는 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 지수분포를 따른다.

\[ f_{T_1}(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t > 0 \]

도착 간격 (\(X_i\))

각 도착 간격 \(X_i\)는 다음과 같은 지수 분포를 따른다.

\[ X_i \sim Exp(\lambda) \]

\(X_i\)는 \(i\)-번째와 \((i-1)\)-번째 이메일 도착 사이의 시간 간격이라고 생각하면됨.

• 각 간격은 독립적이고 평균 대기 시간이 \(\frac{1}{\lambda}\)인 지수 분포.
• 지수 분포의 "무기억성" 특징: 현재까지 경과한 시간은 미래의 도착 간격에 영향을 주지 않음.

n번째 이메일 도착 시간 (\(T_n\))

n번째 이메일 도착 시간 \(T_n\)은 각 도착 간격 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\)의 합으로 표현할 수 있다. (잘 생각해보면 이산 확률 분포에서 기하 분포와 음이항 분포의 관계와 비슷하다)

\[ T_n = \sum_{j=1}^n X_j \]

이때 \(T_n\)은 감마 분포를 따른다.

\[ T_n \sim Gamma(n, \lambda) \]

 

다음은 \(T_n\)이 실제로 감마 분포를  따르는지 에 대한 증명 과정이다.