행렬 방정식 -> to vector 방정식.
이런 linear system 이 있다고 하면
| Person ID | Weight (kg) | Height (ft) | Is smoking (Yes = 1, No = 0) | Life-span |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 62 | 5.6 | Yes (=1) | 68 |
| 2 | 68 | 5.1 | No (=0) | 76 |
| 3 | 58 | 6.1 | Yes (=1) | 80 |
다음과 같은 matrix equation으로 표현할 수 있다.
\[ \begin{bmatrix} 62 & 5.6 & 1 \\ 68 & 5.1 & 0 \\ 58 & 6.1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 68 \\ 76 \\ 80 \end{bmatrix} \]
이걸 그대로 벡터 방정식으로 변환할 수도 있음.
\[ \begin{bmatrix} 62 \\ 68 \\ 58 \end{bmatrix} x_1 + \begin{bmatrix} 5.6 \\ 5.1 \\ 6.1 \end{bmatrix} x_2 + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x_3 = \begin{bmatrix} 68 \\ 76 \\ 80 \end{bmatrix} \]
이걸 간단하게 다음과 같이 나타낼수있다
\[ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b \]
그럼 이 방정식의 해가 언제 존재할까?
Span
벡터 공간에서 Span이란, 벡터 집합이 생성할 수 있는 모든 선형 결합의 집합을 의미한다. 즉, 주어진 벡터들이 생성할 수 있는 공간을 나타낸다.
예를 들어, 위 방정식에서 행렬 \( A \)의 열 벡터들이 생성하는 Span이 우변 벡터 \( b \)를 포함할 때, 방정식 \( Ax = b \)의 해가 존재한다고 할 수 있다.
\[ \text{Span}(a_1, a_2, a_3) = \{ c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 \mid c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R} \} \]
즉, 벡터 \( b \)가 벡터 \( a_1, a_2, a_3 \)의 Span에 속하는 경우에만 해가 존재한다.