Linear System
linear system이란 하나 이상의 선형 방정식들의 모음으로, 이 방정식들은 같은 변수 \(x_1, \ldots, x_n\)을 포함한다
예를 들어, 사람들의 체중, 키, 그리고 수명 데이터를 수집하여 linear system을 설정할 수 있다
\( 60x_1 + 5.5x_2 + x_3 = 66 \) (1번 사람)
\( 65x_1 + 5.0x_2 + x_3 = 74 \) (2번 사람)
\( 55x_1 + 6.0x_2 + x_3 = 78 \) (3번 사람)
\( 65x_1 + 5.0x_2 + x_3 = 74 \) (2번 사람)
\( 55x_1 + 6.0x_2 + x_3 = 78 \) (3번 사람)
행렬로 표현하기
위 linear system은 행렬 \(A\), 벡터 \(x\), 그리고 벡터 \(b\)를 사용하여 간결하게 표현할 수 있음
\( A = \begin{bmatrix} 60 & 5.5 & 1 \\ 65 & 5.0 & 0 \\ 55 & 6.0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
\( b = \begin{bmatrix} 66 \\ 74 \\ 78 \end{bmatrix} \)
\( x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
\( b = \begin{bmatrix} 66 \\ 74 \\ 78 \end{bmatrix} \)
이를 사용하여 전체를 하나의 행렬 방정식으로 나타낼 수 있음
\( Ax = b \)
Identity Matrix
단위 행렬 \(I_n\)은 대각선이 모두 1이고 나머지는 0인 square matrix. 이 행렬은 어떤 벡터 \(x\)에 대해 곱해도 \(x\)를 그대로 유지한다:
\( I_n x = x \)
예를 들어, \(I_3\)는 다음과 같음
\( I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)