이 글에서는 시간에 따라 변하는 확률분포 \(\{p_t\}\) (확률 경로, Probability Path)을 어떻게 velocity field \(u_t\)와 연결해 생각할 수 있는지를 살펴보고, 그 과정에서 중요한 역할을 하는 Continuity Equation 을 이해해본다. 최종적으로는 “연속 방정식을 만족하는 velocity field"와 “실제로 그 velocity field가 확률분포 \(\{p_t\}\)를 만들어낸다”는 말이 같은 말임을 보이겠다.
Probability path \(\{p_t\}\)와 Flow \(\psi_t\)
Probability Path란, 시간 t가 0부터 1까지 변할 때, 각 시점마다 정의되는 확률분포 \(\displaystyle p_t\)의 모임을 말한다. 예를 들어, 초기 확률분포 \(\displaystyle p_0\)를 가지는 확률변수 \(\displaystyle X_0\)가 시간 t에서 flow \(\psi_t\)에 의해 \(\displaystyle X_t = \psi_t(X_0)\)로 변화한다고 하면, 그때 \(\displaystyle X_t\)의 분포가 \(\displaystyle p_t\)가 된다.
\(\displaystyle p_t\)는 Push-Forward 형태로 나타낼 수 있으며, \(\displaystyle p_t = [\psi_t \# p_0]\)라고 쓴다. “\(\psi_t\#\)”는 “\(\psi_t\)로 미는(push-forward)”라는 뜻이다.
velocity field \(\displaystyle u_t\)가 \(\displaystyle p_t\)를 생성한다
velocity field \(\displaystyle u_t(x)\)는, “시각 t에 공간의 점 x가 어느 속력·방향으로 움직이느냐”를 결정하는 벡터 field이다. 이를 이용해 다음 미분방정식을 풀면 flow \(\psi_t\)를 얻는다:
$$ \dot{x}(t) = u_t\bigl(x(t)\bigr), \quad x(0)=x_0. $$
flow \(\psi_t\)는 “시간 0에서 x_0에 있던 점이 시간 t가 되었을 때 어디까지 이동했는가”를 표현한다. 이때, “\(\displaystyle u_t\)가 \(\displaystyle p_t\)를 생성한다”는 말은, 초깃값 p_0를 가진 점들(랜덤 variable 점들이라고 생각해도 좋다)을 \(\psi_t\)에 따라 움직였을 때(즉, push-forward), 결과적으로 시간 t에서 얻어지는 분포가 바로 \(\displaystyle p_t\)라는 뜻이다.
연속 방정식(Continuity Equation)과 질량 보존
속도장에 따라 확률밀도가 이동(진화)할 때, “총질량(총확률)이 보존된다”는 사실이 아래의 연속 방정식으로 표현된다:
$$ \frac{\partial}{\partial t} p_t(x) \;+\; \mathrm{div}\bigl(p_t(x)\,u_t(x)\bigr) \;=\; 0. $$
이 식은 물리적으로 “어떤 지점에서 빠져나가는 흐름이 있으면, 그만큼 주변 지점에서 유입되는 흐름도 존재해, 전체 질량(확률)은 시간에 따라 불어나거나 줄어들지 않는다”는 이야기이다.
결국 이 방정식을 만족한다는 것은 “\(\displaystyle p_t\)가 \(\displaystyle u_t\)를 따라 움직이는데, 그 총량이 항상 일정”하다는 것이다.
Mass Conservation
- continuity equation: $$ \partial_t p_t + \mathrm{div}(p_t\,u_t) = 0. $$
- \(\displaystyle u_t\)가 \(\{p_t\}\)를 실제로 만들어낸다 (즉, 점들을 \(\displaystyle u_t\)에 따라 이동시키면 분포가 \(\displaystyle p_t\)가 된다).
이 두 가지가 서로 동치임을 보이는데, 즉, “연속 방정식을 만족하면 실제로 그런 flow를 구성할 수 있고, 그 flow에 따라 확률분포가 정확히 \(\{p_t\}\)로 진화한다”는 사실을 의미한다.
Theorem 2 (Mass Conservation)에서 “연속 방정식 \(\partial_t p_t + \mathrm{div}(p_t\,u_t)=0\)을 만족” 하는 것과 “\(u_t\)가 \(p_t\)를 실제로 생성한다”는 것이 서로 동치라는 사실을 제시하였다. 이제 이 정리를 보다 구체적으로 뒷받침하는 조건들과, Divergence Theorem을 통한 해석을 더 자세히 알아보자.
Local Lipschitz + Integrable 조건
Flow \(\psi_t\)를 올바르게 정의하기 위한 조건들이다.
(1) Local Lipschitzness
\(\displaystyle u_t(x)\)가 시간 t와 공간 x에서 로컬하게 Lipschitz 상수에 의해 제어된다면, “\(\dot{x}(t) = u_t(x(t))\)” 같은 미분방정식의 고유해(uniqueness)가 보장된다. 특히, \(\psi_t\)가 전 구간 \([0,1]\)에서 잘 정의되려면, 특이점이 심하지 않아야 하고(=로컬 Lipschitz), 영역을 옮겨다닐 때도 제어가 잘 되어야 한다.
(2) Integrability
$$ \int_{0}^{1} \int \|u_t(x)\|\; p_t(x)\,dx\,dt \;<\;\infty. \quad $$
즉, \(\|u_t(x)\|\)가 확률밀도 \(p_t(x)\)에 대해 시간·공간적으로 적분했을 때도 유한값을 가진다는 뜻이다. 물리적으로 보면, “확률질량이 분산된 영역에서 극도로 높은 속도(\(\to\infty\))는 없고, 전체적으로 유한한 에너지를 사용한다” 정도의 의미다.
이 적분 가능성은 \(\psi_t(x) = x + \int_0^t u_s(\psi_s(x))\,ds\) 같은 적분방정식 형태로 flow를 구성할 때, “너무 폭주하지 않는” 속도를 보장해 주며, \(\mathbb{E}[\|X_t\|]\) 등을 유한하게 유지하는 데 필수적이다.
구체적으로, \(\psi_t(x) = x + \int_0^t u_s(\psi_s(x))\,ds\)를 생각하면, 확률적으로 “\(\psi_t\)”에 따라 위치가 움직이는 모습을 “초기 상태 \(x\)가 무작위 \(p(x)\) 분포를 가진다”고 해석할 수 있다. 그러면 시간 \(t\)의 위치 \(\psi_t(x)\)는 곧 \(p_t\)라는 새로운 분포를 만든다.
이때 \(\mathbb{E}[\|X_t\|]\) = \(\int \|\psi_t(x)\|\,p(x)\,dx\)가 삼각부등식과 적분 가능 조건을 통해 유한함을 추정할 수 있다:
$$ \mathbb{E}\|X_t\| \;\le\; \mathbb{E}\|X_0\| \;+\; \int_0^1 \int \|u_s(x)\|\; p_t(x)\,dx\,ds \;<\;\infty. $$
Divergence theorem
이어서, 연속 방정식 \(\partial_t p_t + \mathrm{div}(p_t\,u_t) = 0\)을 Divergence Theorem으로 풀어서 해석하는 과정을 보자.
어떤 영역 \(D \subset \mathbb{R}^d\)와 매끄러운 벡터장 \(v\)에 대해, 다음이 성립한다:
$$ \int_{D} \mathrm{div}(v)(x)\,dx \;=\; \int_{\partial D} \langle v(y),\,n(y)\rangle \, d s_y,\quad $$
이는 “영역 내부에서의 발산량 적분이 경계를 통해 나가는(또는 들어오는) flux와 같다”는 정리이다
연속 방정식 적용
\(\displaystyle v(x) = p_t(x)\,u_t(x)\)로 놓고, \(\partial_t p_t + \mathrm{div}(p_t\,u_t) = 0\)을 영역 \(D\)에 대해 적분하면,
$$ \frac{d}{dt}\int_{D} p_t(x)\,dx = -\int_{D} \mathrm{div}\bigl(p_t(x)\,u_t(x)\bigr)\,dx = -\int_{\partial D}\langle p_t(y)\,u_t(y),\, n(y)\rangle\, d s_y. \quad $$
이는 “영역 \(D\) 안에 있는 확률질량의 시간적 변화율이 경계를 통과해서 나가는 흐름과 정확히 일치한다”는 뜻이다. 새로 질량이 생겨나거나 사라지지 않고, 오직 경계(외부)와의 이동만 존재함을 보여 준다.
