Inverse Matrix (역행렬)
Square matrix \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)에 대한 역행렬 \(A^{-1}\)은 다음과 같이 정의된다
\(A^{-1}A = AA^{-1} = I_n\)
예를 들어, 2x2 행렬 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)에 대한 역행렬은 다음과 같다
\(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)
Solving Linear System via Inverse Matrix
\(Ax = b\)는 역행렬을 사용하여 다음과 같이 해결할 수 있음
\(Ax = b\)
\(A^{-1}Ax = A^{-1}b\)
\(I_nx = A^{-1}b\)
\(x = A^{-1}b\)
\(A^{-1}Ax = A^{-1}b\)
\(I_nx = A^{-1}b\)
\(x = A^{-1}b\)
Example
주어진 행렬 \(A\)와 벡터 \(b\)로 linear system 해결하는 예제이다
\(A = \begin{bmatrix} 58 & 5.8 & 1 \\ 67 & 4.7 & 0 \\ 57 & 6.3 & 1 \end{bmatrix}\)
\(b = \begin{bmatrix} 65 \\ 75 \\ 80 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.0820 & 0.0010 & -0.0820 \\ -1.1424 & 0.0870 & 1.1424 \\ 2.0100 & -1.0000 & -1.0100 \end{bmatrix}\)
\(b = \begin{bmatrix} 65 \\ 75 \\ 80 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.0820 & 0.0010 & -0.0820 \\ -1.1424 & 0.0870 & 1.1424 \\ 2.0100 & -1.0000 & -1.0100 \end{bmatrix}\)
역행렬을 사용하여 \(x\)를 계산하면:
\(x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} -0.5 \\ 20 \\ -22 \end{bmatrix}\)
2by 2 매트릭스 구하는건 공식이 쉽게 나와있지만, 이런 3 by 3 matrix는 그냥 파이썬으로 하자,,ㅎㅎ