Vector Matrix Multiplication

 

Vector and Matrix addition and multiplication

Addition

element-wise하게 계산됨. 예를 들어, 행렬 \(A\)와 \(B\)의 덧셈 \(C = A + B\)는 다음과 같음, 말그대로 그냥 더해주면 됨

\( C = A + B \)
\( C_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \)

Scalar multiple

벡터나 행렬에 스칼라를 곱하는 것은 각 요소에 스칼라를 곱하는 것을 의미, 그냥 그대로 scalar 곱 해주면됨

\( cA \)
예: \( 2 \times \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \)

 

Matrix multiplication

\( C = AB \)

이런 느낌 색깔별로 계산되는 과정을 일부분만 표현해봤는데, 나머지도 비슷하게 계산해주면 됨. 이때 행렬곱할때는 사이즈가 중요한데 첫번쨰꺼가 3x2, 2x3 이라서 곱해지는 부분 사이즈가 2로 같으니까 행렬곱이 정의가 되는거. 그래서 나중에 코드짤때 이거땜에 코드가 안돌아가는 경우도 생기니,, 차원놀이 잘 해봐야함..

 

그리고 이런 행렬곱의 특징땜에, 

행렬 곱셈은 교환 법칙이 적용되지 않음. 즉, \(AB \neq BA\). 

\( AB \)는 정의될 수 있지만 \( BA \)는 정의되지 않을 수 있음.(왜냐면 크기가 안맞을수 있으니까 2x3 이랑 3x4는 multiply 되지만 3x4랑 2x3은 multiply 못하는거처럼)

정의된다 하더라도 계산해보면 결과가 다른걸 볼 수 있음

교환법칙 빼고 아래 법칙들은 성립함

• 분배 법칙: \( A(B + C) = AB + AC \)
• 결합 법칙: \( A(BC) = (AB)C \)
• 전치의 property: \( (AB)^T = B^T A^T \)